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ロボットの確率・統計問題集（答え）
Sat Sep 21 13:39:56 JST 2024 (modified: Fri Feb 21 10:00:41 JST 2025)
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$$\newcommand{\indep}{\mathop{\perp\!\!\!\perp}}$$
1章
統計のリテラシー
順位が常に入れ替わっていても筆者が1位になった瞬間だけSNSにアップしているとずっと1位になっているように見えるので，それを勘違いしないように受け取らないといけません．
大量データの平均値
シェルを使う例を挙げておきます．答えは209.7です．
$ curl https://raw.githubusercontent.com/ryuichiueda/LNPR_BOOK_CODES/refs/heads/master/sensor_data/sensor_data_200.txt > a
$ cat a | awk '{a+=$4}END{print a/NR}'
209.737
### 別解（コマンドは各自インストールを）###
$ cat a | tr ' ' '\t' | datamash mean 4
209.7371329762大量データのばらつき
こちらもシェルを使う例を挙げておきます．平均値は大量データの平均値のものを使用。1列目が分散、2列目が標準偏差です。
$ cat a | awk '{a+=($4-209.7371329762)**2}END{print a/(NR-1), sqrt(a/(NR-1))}'
23.4081 4.83819
### 別解 ###
$ cat a | tr ' ' '\t' | datamash svar 4 sstdev 4
23.408106598555 4.8381924929207不偏分散の定義
\(\sigma^2\)を不偏分散とすると、
$$\sigma^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2$$
となります。ここで
$$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i $$
です。
代表値の活用
例です．（問題にも書きましたが代表値は万能ではないので，必ず異議が生じることを考慮する必要があります．）
- 平均値が計算できると，何人かのテスト結果を比較して1人選抜しなければならない場合，欠席等でテストを受けた回数が違っても，互いの成績を比較することができる．
2章
同時確率と条件付き確率
\begin{align} P(偶数) &= \sum_{X=A,B} P(偶数, X) \\ &= \sum_{X=A,B} P(偶数| X)P(X) \\ &= P(偶数| A)P(A) + P(偶数| B)P(B) \\ &= 1/2 \cdot 2/3 + 1/3 \cdot 1/3 \\ &= 1/3 + 1/9 \\ &= 4/9 \end{align}
条件つきの乗法定理
\(X,Y\)をまとめて\(P(X, Y, Z)\)に乗法定理を適用すると、 $$P(X, Y, Z) = P(X, Y | Z)P(Z) ・・・(1)$$ が得られる。また、\(X,Z\)をまとめて\(P(X, Y, Z)\)に乗法定理を適用すると、 \begin{align} P(X, Y, Z) &= P(Y | X, Z)P(X, Z) \\ &= P(Y|X,Z)P(X|Z)P(Z) ・・・(2) \end{align} が得られる。
(1)と(2)の右辺をイコールでつなぐと、 $$P(X, Y | Z)P(Z) = P(Y|X,Z)P(X|Z)P(Z)$$ となる。\(P(Z) \neq 0 \)の場合を考えているので、両辺が\(P(Z)\)で割れて、 $$P(X, Y | Z) = P(Y|X,Z)P(X|Z)$$ が得られる。
独立
\begin{align} &\text{Pr} \{ (x_1 + x_2) \equiv 0 (\text{mod} 2) \} \\ &= \sum_{y=0}^1 \text{Pr} \{ (x_1 + x_2) \equiv 0 (\text{mod} 2) \cap x_2 \equiv y (\text{mod} 2) \} \\ &= \sum_{y=0}^1 \text{Pr} \{ (x_1 + x_2) \equiv 0 (\text{mod} 2) | x_2 \equiv y (\text{mod} 2) \} \text{Pr} \{ x_2 \equiv y (\text{mod} 2) \} \\ &= \sum_{y=0}^1 \text{Pr} \{ x_1 \equiv y (\text{mod} 2) | x_2 \equiv y (\text{mod} 2) \} \text{Pr} \{ x_2 \equiv y (\text{mod} 2) \} \\ &= \sum_{y=0}^1 \text{Pr} \{ x_1 \equiv y (\text{mod} 2) \} \text{Pr} \{ x_2 \equiv y (\text{mod} 2) \} \qquad (\because x_1 \indep x_2) \\ &= \text{Pr} \{ x_1 \equiv 0 (\text{mod} 2) \} \text{Pr} \{ x_2 \equiv 0 (\text{mod} 2) \} + \text{Pr} \{ x_1 \equiv 1 (\text{mod} 2) \} \text{Pr} \{ x_2 \equiv 1 (\text{mod} 2) \} \\ &= 1/4 + 1/4 = 1/2 \end{align}
3章
賭け事と期待値
\begin{align} -3700 &+ 1000\cdot(1/6) + 1000\cdot(2/6) + 1000\cdot(3/6) \\ &+ 1000\cdot(4/6) + 1000\cdot(5/6) + 1000\cdot(6/6) \\ = -3700 &+ 1000\cdot 3.5 = -200円 \end{align}
賭け事と期待値2
コインの表が出る確率が1/2とすると、儲けの期待値は、 \begin{align} -100 + 100,000,000 (1/2)^{100} = -100 + \dfrac{1000^2 \cdot 100}{1024^{10}} \approx -100 + \dfrac{100}{1024^8} \end{align} となります。つまり、期待値で考えると、ほぼ見返りがないということになります。$100$円払って夢を見るにしても、もう少し金額が大きいか、コインの枚数が少なくなければなりません。
宝くじ
法令で「その発売総額の五割に相当する額（加算型当せん金付証票にあつては、その額に加算金（第2条第2項の加算金をいう。以下同じ。）の額を加えた額）をこえてはならない。」とあるので、加算金（いわゆるキャリーオーバー）がない場合は1万円宝くじを購入して得られる金額の期待値は5000円を超えません。
それでも買うかどうかや、宝くじの存在意義についての議論についてはおまかせします。
期待値の式
\begin{align} &-a + bP(1) + bP(2) + \dots + bP(6) \\ =& - a + \sum_{i=1}^6 bP(i) \\ =& - a + b\sum_{i=1}^6 P(i) \end{align}
期待値の線形性
\begin{align} \langle f \rangle_p &= \langle ax + b \rangle_{p(x)} \\ &= a \langle x \rangle_{p(x)} + b \quad (\because \text{期待値の線型性}) \\ &= a \mu + b \quad (\because \mu = \langle x \rangle_{p(x)}) \end{align}
分散の性質と期待値
\begin{eqnarray} \sigma^2 &=& \langle (x - \mu)^2 \rangle_{p(x)} \\ &=& \langle x^2 -2 x\mu -\mu^2 \rangle_{p(x)} \\ &=& \langle x^2 \rangle_{p(x)} -2\mu\langle x \rangle_{p(x)} + \mu^2 \\ &=& \langle x^2 \rangle_{p(x)} -2\mu^2 + \mu^2 \quad (\because \mu = \langle x \rangle_{p(x)}) \\ &=& \langle x^2 \rangle_{p(x)} - \mu^2 \end{eqnarray}
独立した変数の和の分散
\(\mu_x, \mu_y\)を、それぞれ\(x,y\)の平均値、 \(\sigma_x^2, \mu_y^2\)を、それぞれ\(x,y\)の分散とすると、
- \(\sigma_x^2 = \langle (x-\mu_x)^2 \rangle_{p(x)}\)
- \(\sigma_y^2 = \langle (y-\mu_y)^2 \rangle_{p(y)}\)
となります。
また、\(x \indep y\)なので、
- \(p(x,y) = p(x)p(y)\)
- \(\langle (x-\mu_x)(y-\mu_y) \rangle_{p(x,y)} = 0\)
が成り立ちます。
したがって、 \begin{align} \langle (z - \mu_z)^2 \rangle_{p(z)} &= \langle (x + y - \mu_x - \mu_y)^2 \rangle_{p(x,y)} \\ &= \langle (x-\mu_x)^2 + (y-\mu_y)^2 + 2(x-\mu_x)(y-\mu_y) \rangle_{p(x,y)} \\ &= \langle (x-\mu_x)^2 \rangle_{p(x,y)} + \langle (y-\mu_y)^2 \rangle_{p(x,y)} + \langle 2(x-\mu_x)(y-\mu_y) \rangle_{p(x,y)} \\ &= \langle (x-\mu_x)^2 \rangle_{p(x)p(y)} + \langle (y-\mu_y)^2 \rangle_{p(x)p(y)} + \langle 2(x-\mu_x)(y-\mu_y) \rangle_{p(x,y)} \\ &= \langle (x-\mu_x)^2 \rangle_{p(x)} + \langle (y-\mu_y)^2 \rangle_{p(y)} + 0 \\ &= \sigma_x^2 + \sigma_y^2 \end{align} となります。つまり、\(z\)の分散は、\(x,y\)それぞれの分散の和になります。
2つのサイコロの目の分散
2つのサイコロの目は、1方が1方に影響を与えることなく独立である。したがって、1つのサイコロの出目の分散を\(\sigma^2\)と表すと、小問1, 2は次のように解ける。
- 小問1: 目の和の分散
\(\sigma^2\)を単純に2つ足したものとなり、
$$2\sigma^2 = 35/12 \cdot 2 = 35/6$$
となる。
- 小問2: 目の平均値の分散
2つのサイコロの出目を\(x_1,x_2\)とする。出目の平均値は
$$\bar{x} = (x_1 + x_2)/2 = x_1/2 + x_2/2$$
となり、\(x_1/2 \indep x_2/2\)なので、\(\bar{x}\)の分散は、\(x_1/2, x_2/2\)の分散の和、すなわち、サイコロ1つの出目を2で割った値の分散の和となる。サイコロ1つの出目\(x\)を2で割った値の分散は、サイコロの出目の確率分布を\(P\)と表記すると、
\begin{align} \langle (x/2 - 3.5/2)^2 \rangle_P = \dfrac{1}{4}\langle (x - 3.5)^2 \rangle_P = \dfrac{1}{4}\sigma^2 \end{align}
と、\(\sigma^2\)の1/4となる。したがって、求める値は、
$$2\sigma^2/4 = 35/24$$
となる。
4章
ガウス分布の式
$$p(x | \mu, \sigma^2 ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$
となります。ここで\(\mu\)は\(x\)の平均値、\(\sigma^2\)は分散です。
2次元ガウス分布の式
$$p(\boldsymbol{x} | \boldsymbol{\mu}, \Sigma ) = \dfrac{1}{\sqrt{(2\pi)^2|\Sigma|}} \exp \left\{ - \dfrac{1}{2} {(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}})^\top \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\}$$
ここで
\begin{align} \boldsymbol{\mu} &= \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}\\ \Sigma &= \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_2^2 \end{pmatrix} \end{align}
であり、\(\mu_1, \mu_2\)はそれぞれ\(x_1, x_2\)の平均値、\(\sigma_1^2, \sigma_2^2 \)はそれぞれ\(x_1, x_2\)の分散である。また、\(\sigma_{12}\)は\(x_1, x_2\)の共分散である。
連続値と確率
- 例（ちょっとごまかしがあるかもしれませんが）
\(x\)が連続的な値をとるとき、確率は「発生する\(x\)の値のうち，\(x\)がある範囲に入る割合」として定義される．1つの任意の\(x\)の値に対してこの範囲を狭めていくと確率は0に近づいていく．一方で，\(p\)の数値はとり得る任意の\(x\)に対しては0より大きい固定値で，0には近づかない．したがって\(p\)から得られる値は確率ではない．
ガウス分布に従う2変数の和の分布
$$\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_2, \Sigma_1 + \Sigma_2)$$になります。
ガウス分布の積
$$\mathcal{N}\left[ (\Lambda_1 + \Lambda_2)^{-1}(\Lambda_1 \boldsymbol{\mu}_1 + \Lambda_2 \boldsymbol{\mu}_2), (\Lambda_1 + \Lambda_2)^{-1} \right]$$
となります。ただし、\(\Lambda_n (n=1,2) \)は\(\Sigma_n\)の逆行列（精度行列）です。
5章
ベイズの定理の導出
\(P(X,Y)\)について、乗法定理より、
\begin{align} P(X,Y) &= P(X|Y)P(Y) \text{・・・(1)}\\ P(X,Y) &= P(Y|X)P(X) \text{・・・(2)} \end{align}
となる。(1)、(2)の右辺より、\(P(Y) \neq 0\)ならば、
\begin{align} P(X|Y)P(Y) &= P(Y|X)P(X)\\ P(X|Y) &= \dfrac{P(Y|X)P(X)}{P(Y)}\text{・・・(3)} \end{align} となり、(3)がベイズの定理の式となる。
ベイズの定理からの推定
Pythonでのコードの例を示します。（表示の関係でインデントがずれているかもしれません。）
#!/usr/bin/python3
import sys
prob_a = 0.5 #Aである確率（初期値1/2）
A_TOP = 0.5 #Aを投げたら表が出る確率
A_BACK = 0.5 #Aを投げたら裏が出る確率
B_TOP = 1.0/3 #Bを投げたら表が出る確率
B_BACK = 2.0/3 #Bを投げたら裏が出る確率
for c in sys.stdin:
c = c.strip()
if c == "表": #↓ベイズの定理（P(A|表) = P(表|A)*P(A)/(P(表|A)P(A)+P(表|B)P(B)) ）
prob_a = A_TOP*prob_a/(A_TOP*prob_a + B_TOP*(1.0 - prob_a))
if c == "裏": #↓ベイズの定理（P(A|裏) = P(裏|A)*P(A)/(P(裏|A)P(A)+P(裏|B)P(B)) ）
prob_a = A_BACK*prob_a/(A_BACK*prob_a + B_BACK*(1.0 - prob_a))
print(prob_a)実行するとこうなります。
$ cat coin.txt | tr ' ' \\n | ./coin.py
0.0027473967158593666したがって、Aである確率は0.27%ということになります。投げたのはBである確率が極めて高いのですが、Aである可能性も1000に2, 3はあるということになります。
なお、10回ごとにAである確率を記録していくと、
$ seq 10 | while read i ;do head -$i coin.txt | tr ' ' \\n | ./coin.py ;done
0.3105864160192721
0.0921295840646165
0.022347673087940438
0.03956213821246428
0.035786268196507195
0.03235863131847253
0.02924933718877189
0.006741295095506945
0.006078072096803084
0.0027473967158593666となり、Aである確率がだんだん下がっていくことが分かります。
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